Kiedy liczby się zwiększają, rzeczy zaczynają być dziwne
Jezper / Alamy
W 2025 roku krawędzie matematyki stały się nieco bardziej wyraźne, gdy członkowie społeczności online Busy Beaver Challenge zbliżyli się do ogromnej liczby, która zagraża podstawom logicznym tego przedmiotu.
Ta liczba jest kolejną w ciągu „Bezczynnych Bobrów”, serii coraz większych liczb wynikających z pozornie prostej pytania – jak sprawdzić, czy program komputerowy będzie działał wiecznie?
Aby to sprawdzić, badacze odwołują się do pracy matematyka Alana Turinga, który pokazał, że każdy algorytm komputerowy może być odtworzony, wyobrażając sobie uproszczone urządzenie zwane maszyną Turinga. Bardziej złożone algorytmy odpowiadają maszynom Turinga z większymi zestawami instrukcji lub, w mowie matematycznej, większymi stanami.
Każda liczba „Bezczynnego Bobra” BB(n) uchwyci najdłuższy możliwy czas pracy dla maszyny Turinga o n stanach. Na przykład BB(1) wynosi 1, a BB(2) wynosi 6, więc zwiększenie złożoności algorytmu dwukrotnie powoduje sześciokrotne zwiększenie jego czasu pracy. Jednak tempo tego wzrostu okazuje się być ekstremalne, na przykład piąta liczba „Bezczynnego Bobra” wynosi 47 176 870.
Członkowie Busy Beaver Challenge ustalili dokładną wartość BB(5) w 2024 roku, co zakończyło 40-letnie starania w celu zbadania wszystkich maszyn Turinga z pięcioma stanami. Dlatego naturalnym było to, że 2025 rokiem był kolektywnym pościgiem za BB(6).
W lipcu członek znany jako mxdys odkrył dolne ograniczenie jego wielkości, a ta liczba okazała się nie tylko znacznie większa od BB(5), lecz naprawdę ogromna nawet w porównaniu z ilością cząstek we wszechświecie.
Zapisanie wszystkich jego cyfr jest fizycznie niemożliwe, więc matematycy korzystają z rodzaju zapisu zwany tetrationem. Odpowiada to wielokrotnemu podnoszeniu liczby do coraz wyższej potęgi, na przykład 2 tetrowane do 2 jest równe 2 podniesione do potęgi 2 podniesione do potęgi 2, czyli 16. BB(6) wynosi co najmniej 2 tetrowane do 2 tetrowane do 2 tetrowane do 9, ogromna wieża iterowanego tetrowania.
Ocena BB(6) nie będzie tylko kwestią ustanowienia rekordów, ale może również mieć głębokie implikacje dla całej matematyki. Wynika to z faktu, że Turing udowodnił, że muszą istnieć maszyny Turinga, których zachowanie nie można przewidzieć w ramach zestawu aksjomatów zwanych teorią ZFC, która stanowi podstawę wszystkich standardowych współczesnych matematyk.
Badacze już udowodnili, że BB(643) uniknie teorii ZFC, jednak to, czy może to się wydarzyć dla mniejszych liczb, jest otwartym pytaniem – na które Busy Beaver Challenge może pomóc znaleźć odpowiedź.
W lipcu było 2728 maszyn Turinga o sześciu stanach, których zachowanie nie zostało jeszcze sprawdzone. Do października liczba ta zmalała do 1618. „Społeczność jest obecnie bardzo aktywna” – mówi informatyk Tristan Stérin, który uruchomił Busy Beaver Challenge w 2022 roku.
Jedna z tych maszyn może mieć klucz do dokładnej wartości BB(6). Jedna z nich może również okazać się nieznaną, ujawniając granice ram ZFC oraz wiele współczesnej matematyki. Przez przyszły rok pasjonaci matematyki z całego świata na pewno będą ciężko pracować, próbując zrozumieć wszystkie te maszyny.
Tematy:
