Wyobraź sobie, że obracasz szczytka, a następnie pozwól mu zatrzymać się. Czy istnieje sposób, aby znów obrócić szczytka, tak aby znalazł się w dokładnej pozycji startowej, jakbyś go w ogóle nie obracał? Zaskakująco tak, mówią matematycy, którzy odkryli uniwersalny sposób na cofanie obrotu niemal dowolnego obiektu.
Intuicyjnie wydaje się, że jedynym sposobem na cofnięcie skomplikowanego ciągu obrotów jest żmudne wykonanie dokładnie przeciwnych ruchów jeden po drugim. Ale Jean-Pierre Eckmann z Uniwersytetu w Genewie w Szwajcarii i Tsvi Tlusty z Ulsan National Institute of Science and Technology (UNIST) w Korei Południowej odkryli ukryty przycisk resetowania, który obejmuje zmianę rozmiaru początkowego obrotu o wspólny czynnik, proces znanego jako skalowanie, i powtórzenie go dwukrotnie.
W przypadku wirującego szczytka, jeśli twój początkowy obrót obrócił szczytek o trzy czwarte, możesz wrócić do początku, skalując obrót do jednej ósmej, a następnie powtórzyć go dwukrotnie, aby uzyskać dodatkowy obrót o jedną czwartą. Ale Eckmann i Tlusty pokazali, że można to zrobić również dla znacznie bardziej skomplikowanych sytuacji.
„To właściwie właściwość praktycznie każdego obiektu, który się obraca, jak spin, qubit, żyroskop czy ramię robota” – mówi Tlusty. „Jeśli [obiekty] przechodzą przez bardzo zakrzywioną ścieżkę w przestrzeni, po prostu skalując wszystkie kąty obrotu tym samym czynnikiem i powtarzając tę skomplikowaną trasę dwukrotnie, wracają do punktu wyjścia”.
Ich dowód matematyczny zaczyna się od katalogu wszystkich obrotów możliwych w trzech wymiarach przestrzennych. Ten katalog, znany jako SO(3), można opisać za pomocą abstrakcyjnej przestrzeni matematycznej, która ma specjalne reguły i jest zbudowana jak kulka, a akcja przepychania obiektu przez sekwencję obrotów w rzeczywistej przestrzeni odpowiada przemieszczaniu się z jednego punktu wewnątrz kulki do innego, jak robak tunelujący przez jabłko.
Gdy obracasz szczytek w skomplikowany sposób, odpowiednią ścieżką w przestrzeni SO(3) zaczyna się dokładnie w centrum kulki i może zakończyć w dowolnym innym punkcie wewnątrz kulki, w zależności od szczegółów obrotu. Celem cofania obrotu jest znalezienie ścieżki z powrotem do centrum kulki, ale ponieważ istnieje tylko jedno centrum, szanse na zrobienie tego losowo są małe.
To, co zrozumieli Eckmann i Tlusty, to fakt, że z powodu struktury SO(3), cofnięcie obrotu o połowę jest równoważne znalezieniu ścieżki, która pozwoli ci wylądować w dowolnym miejscu na powierzchni kulki. To znacznie łatwiejsze niż próba dotarcia do centrum, ponieważ powierzchnia składa się z wielu punktów, mówi Tlusty. To było kluczową częścią nowego dowodu.
Para spędziła wiele czasu na śledzeniu skarg matematycznych, które nie prowadziły do niczego, mówi Eckmann. To, co w końcu zadziałało, to wzór z XIX wieku na łączenie dwóch kolejnych obrotów, zwany wzorem Rodriguesa, oraz twierdzenie z 1889 roku z gałęzi matematyki znanej jako teoria liczb.
Dla Eckmanna nowa praca to demonstracja bogactwa, jakie może mieć matematyka, nawet w dziedzinie tak dobrze wydeptanej jak badanie obrotów. Tlusty mówi, że może to również mieć praktyczne konsekwencje, na przykład w rezonansie magnetycznym jądrowym (NMR), który stanowi podstawę obrazowania rezonansu magnetycznego (MRI). Badacze poznają tu właściwości materiałów i tkanek, badając reakcję kwantowych spinów w nich na obroty narzucone im przez zewnętrzne pola magnetyczne. Nowy dowód może pomóc w opracowaniu procedur cofania niepożądanych obrotów spinowych, które zakłóciłyby proces obrazowania.
Praca może również prowadzić do postępów w robotyce, mówi Josie Hughes z Federalnej Szkoły Politechnicznej w Lozannie w Szwajcarii. Na przykład robot na kołach mógłby być zmuszony do podążania ścieżką powtarzających się segmentów, składającą się z niezawodnego ruchu reset-roll-reset, który w teorii mógłby trwać wiecznie. „Wyobraź sobie, gdybyśmy mieli robota, który mógł zmieniać kształt między dowolnym ciałem stałym, mógłby wtedy podążać dowolną pożądaną ścieżką po prostu poprzez zmianę kształtu” – mówi.
